- Analóg vagy digitális szűrők
- Aktív vagy passzív szűrők
- Szűrők hang- vagy rádiófrekvencia alapján
- Szűrők a frekvenciaválasztás alapján
- Első rendű aluláteresztő Butterworth szűrő
- Másodrendű Butterworth aluláteresztő szűrő
- Másodrendű aluláteresztő Butterworth szűrő levezetése - Aliter
Az elektromos szűrőknek sok alkalmazásuk van, és sok jelfeldolgozó áramkörben széles körben használják őket. A kiválasztott frekvenciájú jelek kiválasztására vagy kiküszöbölésére szolgál egy adott bemenet teljes spektrumában. Tehát a szűrőt arra használják, hogy a kiválasztott frekvenciájú jelek áthaladjanak rajta, vagy kiküszöböljék a rajta áthaladó jeleket.
Jelenleg sokféle szűrő áll rendelkezésre, és sokféleképpen különböztetik meg őket. A korábbi oktatóprogramokban sok szűrőt áttekintettünk, de a legnépszerűbb megkülönböztetés
- Analóg vagy digitális
- Aktív vagy passzív
- Audio vagy rádiófrekvencia
- Frekvencia kiválasztása
Analóg vagy digitális szűrők
Tudjuk, hogy a környezet által generált jelek analóg jellegűek, míg a digitális áramkörökben feldolgozott jelek digitális jellegűek. Megfelelő szűrőket kell használnunk az analóg és digitális jelekhez a kívánt eredmény eléréséhez. Tehát analóg szűrőket kell használnunk az analóg jelek feldolgozása közben, és digitális szűrőket kell használnunk a digitális jelek feldolgozása közben.
Aktív vagy passzív szűrők
A szűrőket a szűrők tervezésénél használt összetevők alapján is felosztják. Ha a szűrő felépítése teljesen passzív alkatrészeken (például ellenálláson, kondenzátoron és induktoron) alapul, akkor a szűrőt passzív szűrőnek nevezzük. Másrészt, ha aktív komponenst (op-amp, feszültségforrás, áramforrás) használunk áramkör megtervezése közben, akkor a szűrőt aktív szűrőnek nevezzük.
Népszerűbb, hogy az aktív szűrőt előnyben részesítik a passzív helyett, mivel sok előnye van. Ezen előnyök közül néhányat az alábbiakban említünk:
- Nincs terhelési probléma: Tudjuk, hogy egy aktív áramkörben olyan op-erősítőt használunk, amelynek nagyon nagy a bemeneti impedanciája és alacsony a kimeneti impedanciája. Ebben az esetben, amikor aktív szűrőt csatlakoztatunk egy áramkörhöz, akkor az op-amp által felvett áram nagyon elhanyagolható lesz, mivel nagyon nagy a bemeneti impedanciája, és ezáltal az áramkörnek nincs terhelése a szűrő csatlakoztatásakor.
- Nyereségbeállítás rugalmassága: Passzív szűrőkben az erősítés vagy a jelerősítés nem lehetséges, mivel nem lesznek specifikus alkatrészek egy ilyen feladat végrehajtására. Másrészt egy aktív szűrőben van op-erősítőnk, amely nagy erősítést vagy jelerősítést tud biztosítani a bemeneti jelekhez.
- Frekvenciabeállítási rugalmasság: Az aktív szűrők nagyobb rugalmassággal rendelkeznek a vágási frekvencia beállításakor, mint a passzív szűrők.
Szűrők hang- vagy rádiófrekvencia alapján
A szűrő tervezésénél használt alkatrészek a szűrő alkalmazásától vagy a telepítés helyétől függően változnak. Például az RC szűrőket audio vagy alacsony frekvenciájú alkalmazásokhoz használják, míg az LC szűrőket rádió vagy nagy frekvenciájú alkalmazásokhoz.
Szűrők a frekvenciaválasztás alapján
A szűrőket szintén felosztják a szűrőn áthaladó jelek alapján
Aluláteresztő szűrő:
A kiválasztott frekvenciák feletti összes jel csillapodik. Kétféle típusuk van: aktív aluláteresztő szűrő és passzív aluláteresztő szűrő. Az aluláteresztő szűrő frekvencia válasza az alábbiakban látható. Itt a pontozott grafikon az ideális aluláteresztő szűrő grafikon, a tiszta grafikon pedig a gyakorlati áramkör tényleges válasza. Ez azért történt, mert egy lineáris hálózat nem képes megszakító jelet létrehozni. Amint az az ábrán látható, miután a jelek elérik az fH határfrekvenciát, csillapítást tapasztalnak, és egy bizonyos magasabb frekvencia után a bemeneten adott jelek teljesen blokkolódnak.
Magasáramú szűrő:
A kiválasztott frekvenciák feletti összes jel megjelenik a kimeneten, és az e frekvencia alatti jel blokkolódik. Kétféle típusuk van: aktív felüláteresztő szűrő és passzív felüláteresztő szűrő. A felüláteresztő szűrő frekvencia-válasza az alábbiakban látható. Itt egy pontozott gráf az ideális felüláteresztő szűrő grafikon, a tiszta gráf pedig a gyakorlati áramkör tényleges válasza. Ez azért történt, mert egy lineáris hálózat nem képes megszakító jelet létrehozni. Amint az ábrán látható, addig, amíg a jelek frekvenciája magasabb, mint az fL vágási frekvencia, csillapítást tapasztalnak.
Sávszűrő:
Ebben a szűrőben csak a kiválasztott frekvenciatartomány jelei jelenhetnek meg a kimeneten, míg bármely más frekvencia jelei blokkolódnak. A sáváteresztő szűrő frekvencia-válasza az alábbiakban látható. Itt a pontozott grafikon az ideális sávszűrő grafikon, a tiszta gráf pedig a gyakorlati áramkör tényleges válasza. Amint az ábrán látható, az fL-től fH-ig terjedő frekvenciatartomány jeleit átengedik a szűrőn, míg az egyéb frekvenciájú jelek csillapodnak. Tudjon meg többet a Band Pass Filterről itt.
Sáv elutasítási szűrő:
A sáv elutasítási szűrő funkciója pontosan ellentétes a sávszűrő szűrővel. Az összes frekvenciajelet, amelynek frekvenciaértéke van a kiválasztott sávtartományban, a bemenetnél blokkolja a szűrő, miközben bármely más frekvenciájú jel megjelenhet a kimeneten.
All pass szűrő:
Bármilyen frekvenciájú jel átengedhető ezen a szűrőn, kivéve, ha fáziseltolódást tapasztalnak.
Az alkalmazás és a költség alapján a tervező kiválaszthatja a megfelelő szűrőt a különböző típusok közül.
De itt láthatja a kimeneti grafikonokon, hogy a kívánt és a tényleges eredmények nem teljesen egyeznek meg. Bár ez a hiba sok alkalmazásban megengedett, néha pontosabb szűrőre van szükségünk, amelynek kimeneti grafikonja inkább az ideális szűrő felé mutat. Ez a közel ideális válasz speciális tervezési technikák, precíziós alkatrészek és nagy sebességű op-erősítők alkalmazásával érhető el.
A Butterworth, a Caur és a Chebyshev a leggyakrabban használt szűrők, amelyek az ideális válaszgörbét adhatják. Ezekben a Butterworth szűrőt tárgyaljuk itt, mivel ez a legnépszerűbb a három közül.
A Butterworth szűrő fő jellemzői:
- Ez egy RC (ellenállás, kondenzátor) és Op-amp (operációs erősítő) alapú szűrő
- Aktív szűrő, így az erősítés szükség esetén beállítható
- A Butterworth legfontosabb jellemzője, hogy lapos és sima sávval rendelkezik. Ez az oka annak, hogy általában „lapos-lapos szűrőnek” hívják.
Most a jobb megértés érdekében beszéljük meg az aluláteresztő Butterworth szűrő áramköri modelljét.
Első rendű aluláteresztő Butterworth szűrő
Az ábra az elsőrendű aluláteresztő vaj értékű szűrő áramköri modelljét mutatja.
Az áramkörben:
- A „Vin” feszültség bemeneti feszültségjelként analóg jellegű.
- A „Vo” feszültség az üzemi erősítő kimeneti feszültsége.
- Az „RF” és „R1” ellenállások a működési erősítő negatív visszacsatolású ellenállása.
- Az áramkörben egyetlen RC hálózat található (a piros négyzetben jelölve), ezért a szűrő elsőrendű aluláteresztő szűrő
- Az „RL” az op-amp kimenetre kapcsolt terhelési ellenállás.
Ha a feszültségosztó szabályt használjuk a 'V1' pontban, akkor a kondenzátor feszültségét megkapjuk, V 1 = V itt Itt –jXc = 1 / 2ᴫfc
Helyettesítés után ennek az egyenletnek valami hasonló lesz az alábbiakban
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Most az op-amp, amelyet negatív visszacsatolásos konfigurációban használunk, és ilyen esetben a kimeneti feszültség egyenletét a következőként adjuk meg:
V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Ez egy szokásos képlet, és további részletekért utánanézhet az op-amp áramköröknek.
Ha a V1 egyenletet beküldjük a Vo-ba, akkor megvan, V0 = (1 + R F / R 1)
Miután átírtuk ezt az egyenletet, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
Ebben az egyenletben
- V 0 / V in = a szűrő erősítése a frekvencia függvényében
- AF = (1 + R F / R 1) = a szűrő áthidalási sávjának erősítése
- f = a bemenő jel frekvenciája
- f L = 1 / 2ᴫRC = a szűrő vágási gyakorisága. Ezt az egyenletet használhatjuk az ellenállás és a kondenzátor megfelelő értékeinek megválasztására az áramkör határfrekvenciájának kiválasztásához.
Ha a fenti egyenletet poláris formává alakítjuk, akkor
Ezzel az egyenlettel megfigyelhetjük az erősítés nagyságának változását a bemenő jel frekvenciájának változásával.
1. eset: f <
Tehát, ha a bemeneti frekvencia nagyon alacsonyabb, mint a szűrő határfrekvenciája, akkor az erősítés nagysága megközelítőleg megegyezik az op-amp hurokerősítésével.
2. eset: f = F L. Ha a bemeneti frekvencia megegyezik a szűrő vágási frekvenciájával, akkor
Tehát, ha a bemeneti frekvencia megegyezik a szűrő határfrekvenciájával, akkor az erősítés nagysága az op-amp hurokerősítésének 0,707-szerese.
Case3: f> F L. Ha a bemeneti frekvencia magasabb, mint a szűrő határfrekvenciája, akkor
Amint a mintából látható, a szűrő erősítése megegyezik az op-amp erősítésével, amíg a bemeneti jel frekvenciája kisebb lesz, mint a cutoff frekvencia. De amint a bemeneti jel frekvenciája eléri a határfrekvenciát, az erősítés kismértékben csökken, ahogyan azt a második eset látja. És ahogy a bemenőjel frekvenciája még tovább növekszik, az erősítés fokozatosan csökken, amíg el nem éri a nullát. Tehát az aluláteresztő Butterworth szűrő lehetővé teszi, hogy a bemeneti jel megjelenjen a kimeneten, amíg a bemeneti jel frekvenciája alacsonyabb lesz, mint a vágási frekvencia.
Ha megrajzoltuk a fenti áramkör frekvencia-válasz grafikonját, akkor
Amint az a grafikonon látható, az erősítés addig lesz lineáris, amíg a bemeneti jel frekvenciája keresztezi a határértéket, és amint ez megtörténik, az erősítés jelentősen csökken, ahogy a kimeneti feszültség értéke is.
Másodrendű Butterworth aluláteresztő szűrő
Az ábra a 2. rendű Butterworth aluláteresztő szűrő áramköri modelljét mutatja.
Az áramkörben:
- A „Vin” feszültség bemeneti feszültségjelként analóg jellegű.
- A „Vo” feszültség az üzemi erősítő kimeneti feszültsége.
- Az „RF” és „R1” ellenállások a működési erősítő negatív visszacsatolású ellenállása.
- Az áramkörben kettős (piros négyzettel jelölt) RC hálózat van, ezért a szűrő másodrendű aluláteresztő szűrő.
- Az „RL” az op-amp kimenetre kapcsolt terhelési ellenállás.
Másodrendű aluláteresztő Butterworth szűrő levezetése
A másodrendű szűrők azért fontosak, mert a magasabb rendű szűrőket ezek felhasználásával tervezik. Az erősítés a másodrendű szűrő által meghatározott R1 és RF, míg a levágási frekvencia f H határozza meg az R 2, R 3, a C 2 & C 3 értékek. A levágási frekvencia levezetését a következőképpen adjuk meg:
F H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Ennek az áramkörnek a feszültségerősítési egyenlete szintén hasonló módon megtalálható, mint korábban, és ezt az egyenletet az alábbiakban adjuk meg,
Ebben az egyenletben
- V 0 / V in = a szűrő erősítése a frekvencia függvényében
- A F = (1 + R F / R 1) szűrő áthidalási erősítése
- f = a bemenő jel frekvenciája
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = a szűrő vágási gyakorisága. Ezt az egyenletet használhatjuk az ellenállás és a kondenzátor megfelelő értékeinek megválasztására az áramkör határfrekvenciájának kiválasztásához. Ha ugyanazt az ellenállást és kondenzátort választjuk az RC hálózatban, akkor az egyenlet
A feszültségerősítés egyenletével megfigyelhetjük az erősítés nagyságának változását a bemenő jel frekvenciájának megfelelő változásával.
1. eset: f <
Tehát, ha a bemeneti frekvencia nagyon alacsonyabb, mint a szűrő határfrekvenciája, akkor az erősítés nagysága megközelítőleg megegyezik az op-amp hurokerősítésével.
2. eset: F = f H. Ha a bemeneti frekvencia megegyezik a szűrő vágási frekvenciájával, akkor
Tehát, ha a bemeneti frekvencia megegyezik a szűrő határfrekvenciájával, akkor az erősítés nagysága az op-amp hurokerősítésének 0,707-szerese.
Case3: f> F H. Ha a bemeneti frekvencia valóban magasabb, mint a szűrő határértéke, akkor
Az első rendű szűrőhöz hasonlóan a szűrő erősítése megegyezik az op-amp erősítésével, amíg a bemeneti jel frekvenciája kisebb lesz, mint a cutoff frekvencia. De amint a bemeneti jel frekvenciája eléri a határfrekvenciát, az erősítés kismértékben csökken, ahogyan azt a második eset látja. És ahogy a bemeneti jel frekvenciája még tovább növekszik, az erősítés fokozatosan csökken, amíg el nem éri a nullát. Tehát az aluláteresztő Butterworth szűrő lehetővé teszi a bemeneti jel megjelenését a kimeneten, amíg a bemeneti jel frekvenciája alacsonyabb lesz, mint a határérték.
Ha megrajzoljuk a fenti áramkör frekvencia-válasz grafikonját,
Most arra lehet kíváncsi, hol van a különbség az elsőrendű és a másodrendű szűrő között ? A válasz a grafikonon található, ha figyelmesen megfigyeli, láthatja, hogy miután a bemeneti jel frekvenciája átlépi a határértéket, a grafikon meredeken csökken, és ez az esés inkább másodrendű, mint az első rend. Ennél a meredek lejtésnél a másodrendű Butterworth szűrő jobban hajlik az ideális szűrőgráf felé, mint az egyrendű Butterworth szűrő.
Ugyanez vonatkozik a harmadik rendű Butterworth aluláteresztő szűrőre, a negyedik rendű Butterworth aluláteresztő szűrőre és így tovább. Minél magasabb a szűrő sorrendje, annál inkább az erősítés grafikonja hajlik egy ideális szűrő gráfhoz. Ha megrajzoljuk a magasabb rendű Butterworth szűrők erősítési grafikonját, valami ilyesmi lesz,
A grafikonon a zöld görbe az ideális szűrőgörbét képviseli, és láthatja, hogy a Butterworth-szűrő sorrendje növeli az erősítési gráfját inkább az ideális görbe felé hajlik. Tehát magasabb a Butterworth-szűrő sorrendje, minél ideálisabb lesz a nyereséggörbe. Ennek ellenére nem választhat egyszerűen egy magasabb rendű szűrőt, mivel a szűrő pontossága csökken a sorrend növekedésével. Ezért a legjobb, ha a szűrő sorrendjét választja, miközben szemmel tartja a szükséges pontosságot.
Másodrendű aluláteresztő Butterworth szűrő levezetése - Aliter
A cikk közzététele után levelet kaptunk Keith Vogeltől, aki nyugalmazott villamosmérnök. Észrevette, egy széles körben hiba leírását 2 nd aluláteresztő szűrő és felajánlotta magyarázatot kijavítani, ami a következő.
Tehát hadd legyen igazam is:
És akkor menjünk, és mondjuk, hogy a -6db-os határértéket az egyenlet írja le:
f c = 1 / (
Ez azonban egyszerűen nem igaz! Hadd higgyen nekem. Készítsünk egy áramkört, ahol R1 = R2 = 160, és C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Tekintettel az egyenletre, a -6db gyakorisággal rendelkezünk:
f c = 1 / (
Menjünk előre, és szimuláljuk az áramkört, és nézzük meg, hol van a -6db pont:
Ó, 6,33 kHz-re NEM 9,947 kHz-re szimulál; de a szimuláció NEM ROSSZ!
Tájékoztatásul a -6db helyett a -6.0206db-t használtam, mert a 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 valamivel közelebb a számhoz, mint -6, és hogy pontosabb szimulált frekvenciát kapjunk az egyenleteinkhez, használni akartam valami kicsit közelebb, mint a -6db. Ha nagyon szerettem volna elérni a frekvencia által felvázolt egyenlet, azt kell, hogy a puffer között 1 -jén és 2 -án szakaszában a szűrőt. Az egyenletünk pontosabb áramköre a következő lenne:
És itt látjuk, hogy a -6.0206db pontunk 9,945kHz-re szimulál, sokkal közelebb a számított 9.947kHZ-hez. Remélhetőleg elhiszed, hogy hiba történt! Most beszéljünk arról, hogy a hiba hogyan jött létre, és miért ez csak rossz mérnöki munka.
A legtöbb leírások indul egy 1 -jén aluláteresztő szűrő, és az impedancia a következők szerint.
És kap egy egyszerű átviteli funkciót:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Aztán azt mondják, hogy ha ezekből kettőt összerak egy második sorrendű szűrő elkészítéséhez, akkor a következőket kapja:
H (k) = H 1 (s) * H 2 (s).
Ahol H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Amely kiszámítva az fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) egyenletet eredményezi. Itt van a hiba, H 1 (s) válasza NEM független az áramkörben lévő H 2 (től), nem mondhatod, hogy H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
A H 2 (s) impedanciája befolyásolja a H 1 (s) válaszát. És miért működik ez az áramkör, mert az opamp elkülöníti H 2 (ket) H 1 (től)!
Tehát most a következő áramkört fogom elemezni. Tekintsük az eredeti áramkörünket:
Az egyszerűség kedvéért R1 = R2 és C1 = C2 értékeket fogok megadni, különben a matematika nagyon belefog. De képesnek kell lennünk levezetni a tényleges átviteli függvényt és összehasonlítani a szimulációinkkal az érvényesítéshez, ha készen vagyunk.
Ha azt mondjuk, hogy Z 1 = 1 / sC párhuzamosan (R + 1 / sC), akkor az áramkört a következőképpen rajzolhatjuk át:
Tudjuk, hogy a V 1 / V a = Z 1 / (R + Z 1); Ahol Z 1 komplex impedancia lehet. És ha visszatérünk az eredeti áramkörünkhöz, akkor láthatjuk, hogy Z 1 = 1 / sC párhuzamosan (R + 1 / sC)
Azt is láthatjuk, hogy Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), ami H 2 (s). De H 1 (s) sokkal összetettebb, Z 1 / (R + Z 1), ahol Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); és NEM 1 / (sRC + 1)!
Tehát most végigcsiszolhatjuk az áramkörünk matematikáját; R1 = R2 és C1 = C2 speciális esetére.
Nekünk van:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
És végül
Vo / V a = * = * = * = * = *
Itt láthatjuk, hogy:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
nem 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
És..
Vo / V in = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1)
Tudjuk, hogy a -6db pont (
És tudjuk, amikor az átviteli függvény nagysága 0,5-nél van, akkor a -6db frekvencián vagyunk.
Tehát oldjuk meg ezt:
-Vo / V in - = -1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Legyen s = jꙍ, megvan:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
A nagyság meghatározásához vegye a valós és a képzeletbeli kifejezések négyzetének négyzetgyökét.
sqrt ((((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
mindkét oldal négyzete:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Bővítés:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Legyen x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
A másodfokú egyenlet felhasználása az x megoldására
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. egyetlen igazi válasz a +
Emlékezik
x = (ꙍRC) 2
x helyettesítése
(ꙍRC) 2 = (
A ꙍ helyébe 2
2
f c = (
Csúnya, lehet, hogy nem hiszel nekem, ezért olvass tovább… Az eredeti áramkörhöz, amelyet neked adtam:
f c = (
Ha visszatérünk ehhez az áramkörhöz tartozó eredeti szimulációnkhoz, akkor a -6db frekvenciát ~ 6,331 kHz-en láttuk, amely pontosan megfelel a számításainknak!
Szimulálja ezt más értékekkel, és meglátja, hogy az egyenlet helyes.
Láthatjuk, hogy ha a puffer a két 1 -jén aluláteresztő szűrőkkel tudjuk használni az egyenletet
f c = 1 / (
És ha R1 = R2 és C1 = C2, akkor használhatjuk az egyenletet:
f c = 1 /
De ha nem puffer a két 1 st szűrőknél a egyenletet (adott R1 = R2, C1 = C2) válik:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Figyelem, ne próbálja megmondani:
f c = 0,6365 / (
Ne feledje, hogy H 2 (s) hatással van H 1 (s) -re; de fordítva nem, a szűrők nem szimmetrikusak, ezért ne tegye ezt a feltételezést!
Tehát, ha az aktuális egyenletnél marad, akkor egy ilyen áramkört ajánlok:
