A maxwell-egyenletek megértése

A Maxwell-egyenletek az elektromágneses elmélet alapjai, amely az elektromos és mágneses mezőkre vonatkozó négy egyenlet halmazát alkotja. Ahelyett, hogy felsorolnánk a Maxwell-egyenletek matematikai ábrázolását, ebben a cikkben arra összpontosítunk, hogy mi az adott egyenletek tényleges jelentősége. A Maxwell első és második egyenlete statikus elektromos mezőkkel, illetve statikus mágneses mezőkkel foglalkozik. A Maxwell harmadik és negyedik egyenlete a mágneses mezők és az elektromos mezők változásával foglalkozik.

A Maxwell-egyenletek a következők:

1. Gauss villamos törvény
2. Gauss-törvény a mágnességről
3. Faraday indukciós törvénye
4. Ampere törvénye

1. Gauss villamos törvény

Ez a törvény kimondja, hogy a zárt felületről érkező elektromos fluxus arányos a felület által bezárt teljes töltettel. A Gauss-törvény a statikus elektromos mezővel foglalkozik.

Vegyünk egy Q pozitív töltést. Tudjuk, hogy az elektromos fluxus vonalak kifelé irányulnak a pozitív töltéstől.

Vegyünk egy zárt felületet, amelybe Charge Q van _zárva. A Területvektort mindig Normálnak választják, mert ez képviseli a felület orientációját. Legyen az elektromos mező vektor által a terület vektorral készített szög θ.

Az elektromos fluxus ψ

A ponttermék kiválasztásának oka az, hogy ki kell számolnunk, hogy mennyi elektromos fluxus halad át a normál területvektor által képviselt felületen.

A coulombs törvény alapján tudjuk, hogy az elektromos tér (E) egy pont töltés miatt Q / 4πε ₀ r ².

Gömbszimmetriát figyelembe véve a Gauss-törvény integrált formája:

Ezért az elektromos fluxus Ψ = Q _zárt / ε ₀

Itt a _bezárt Q a felületen belüli összes töltés vektorösszegét jelenti. A töltést körülvevő régió bármilyen alakú lehet, de a Gauss-törvény alkalmazásához ki kell választanunk egy szimmetrikus és egyenletes töltéseloszlású Gauss-felületet. A Gauss-felület lehet hengeres vagy gömb alakú vagy sík.

Differenciális alakjának levezetéséhez Divergence-tételt kell alkalmaznunk.

A fenti egyenlet a Gauss-törvény vagy az I. Maxwell-egyenlet differenciálalakja.

A fenti egyenletben ρ a térfogat töltéssűrűségét jelenti. Amikor a Gauss-törvényt vonalvezetéssel vagy felületi töltéseloszlással rendelkező felületre kell alkalmaznunk, kényelmesebb az egyenletet ábrázolni a töltéssűrűséggel.

Ezért arra következtethetünk, hogy egy elektromos mező divergenciája egy zárt felületen megadja az általa körülvett töltés mennyiségét (ρ). Divergenciát alkalmazva egy vektormezőre, megtudhatjuk, hogy a vektormező által bezárt felület forrásként vagy süllyedőként működik-e.

Vegyük figyelembe a pozitív töltésű négyszöget a fentiek szerint. Amikor divergenciát alkalmazunk a dobozból kijövő elektromos mezőre (kockás alakú), a matematikai kifejezés eredménye azt mondja, hogy a figyelembe vett doboz (kockás alak) a kiszámított elektromos mező forrásaként működik. Ha az eredmény negatív, akkor azt mondja nekünk, hogy a doboz mosogatóként működik, azaz a doboz negatív töltést zár be. Ha a divergencia nulla, az azt jelenti, hogy nincs benne töltés.

Ebből arra következtethetnénk, hogy léteznek elektromos monopólusok.

2. Gauss-törvény a mágnességről

Tudjuk, hogy a mágneses fluxus vonal az északi pólustól a déli pólusig külsőleg áramlik.

Mivel az állandó mágnes miatt vannak mágneses fluxus vonalak, akkor ennek mágneses fluxus sűrűsége (B) lesz. Amikor divergencia-tételt alkalmazunk az S1, S2, S3 vagy S4 felületre, azt látjuk, hogy a kiválasztott felületről be- és kilépő fluxusvonalak száma ugyanaz marad. Ezért a divergencia tétel eredménye Zero. Még az S2 és S4 felszínen is a nulla eltérés, ami azt jelenti, hogy sem az északi, sem a déli pólus külön-külön nem működtet forrást vagy süllyed, mint az elektromos töltések. Még akkor is, ha a mágneses tér (B) divergenciáját alkalmazzuk egy áramszállító vezeték miatt, nulla lesz.

A mágnesség Gauss-törvényének szerves formája:

A mágnesesség Gauss-törvényének különbözõ formája:

Ebből arra következtethetnénk, hogy mágneses monopólusok nem léteznek.

3. Faraday indukciós törvénye

Faraday törvénye kimondja, hogy ha a tekercset vagy bármely vezetéket összekötő mágneses fluxus (az idő függvényében változó) változás következik be, akkor a tekercsben EMF indukálódik. Lenz kijelentette, hogy az EMF által kiváltott irány olyan irányú lesz, hogy ellenzi az azt előidéző ​​mágneses fluxus változását.

A fenti ábrán, amikor egy vezetőlemezt vagy vezetőt változó mágneses mező hatása alá kerül, keringő áram indukálódik benne. Az áram olyan irányban indukálódik, hogy az általa előállított mágneses mező ellenálljon az azt létrehozó változó mágnesnek. Ebből az illusztrációból egyértelmű, hogy a mágneses tér megváltozása vagy változása keringő elektromos teret hoz létre.

Faraday törvényéből

emf = - dϕ / dt

Tudjuk, ϕ = _{zárt felület} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Elektromos mező E = V / d

V = ʃ E.dl

Mivel az elektromos tér változik a felülethez (göndör) képest, létezik V potenciálkülönbség.

Ezért Maxwell negyedik egyenletének integrális formája:

Stoke tételének alkalmazásával

A Stoke-tétel alkalmazásának oka az, hogy amikor egy forgó mező göndörségét vesszük egy zárt felületre, akkor a vektor belső göndörkomponensei megsemmisítik egymást, és ennek eredményeként a zárt út mentén a vektormezőt értékeljük.

Ezért ezt megírhatjuk,

Maxwell egyenletének differenciális alakja az

A fenti kifejezés alapján egyértelmű, hogy az idő függvényében változó mágneses mező egy keringő elektromos mezőt hoz létre.

Megjegyzés: Az elektrosztatikában az elektromos mező hullámzása nulla, mert sugárirányban kifelé jelenik meg a töltésből, és nincs hozzá kapcsolódó forgó alkatrész.

4. Ampere törvénye

Ampere törvénye kimondja, hogy amikor egy elektromos áram egy vezetéken keresztül áramlik, mágneses mezőt hoz létre körülötte. Matematikailag a mágneses mező zárt hurok körüli vonali integrálja adja az általa zárt teljes áramot.

ʃ B .dl = μ ₀ I mellékelt

Mivel a mágneses tér göndörödik a vezeték körül, alkalmazhatjuk Stoke tételét Ampere törvényére.

Ezért az egyenlet lesz

A zárt áramot képviselhetjük a J áramsűrűség szempontjából.

B = μ ₀ H ennek a relációnak az alkalmazásával írhatjuk fel a kifejezést

Amikor divergenciát alkalmazunk egy forgó vektormező hullámára, az eredmény nulla. Ennek oka, hogy a zárt felület nem működik forrásként vagy süllyedőként, vagyis a felszínről be- és kilépő fluxusok száma megegyezik. Ez matematikailag ábrázolható,

Vegyünk egy áramkört az alábbiak szerint.

Az áramkörhöz kondenzátor csatlakozik. Amikor divergenciát alkalmazunk az S1 régióban, az eredmény azt mutatja, hogy nem nulla. A matematikai jelölésben

Áram áramlik az áramkörben, de a kondenzátorban a töltések átkerülnek a lemezek közötti változó elektromos tér miatt. Tehát fizikailag az áram nem folyik rajta keresztül. Maxwell ezt a változó elektromos fluxust elmozdulási áramként (J _D) alkotta meg. De Maxwell alkotta meg a kifejezést eltolási áram (J _D) tekintve a szimmetria a Faraday-törvény, azaz ha egy mágneses mezőt időben változó termel elektromos mező, akkor szimmetria, a változó elektromos tér mágneses mezőt.

A mágneses tér intenzitásának (H) hullámzása az S1 régióban

Maxwell negyedik egyenletének integrális formája a következőképpen fejezhető ki:

Maxwell negyedik egyenletének differenciális alakja:

Ezt a négy egyenletet, akár integrált, akár differenciális alakban, Maxwell-egyenletnek nevezzük.